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轮廓线dp

哈尔滨理工大学软件与微电子学院第八届程序设计竞赛同步赛(高年级) 小乐乐搭积木 链接:https://ac.nowcoder.com/acm/contest/301/B 来源:牛客网

题目描述

小乐乐想要给自己搭建一个积木城堡。 积木城堡我们假设为n*m的平面矩形。 小乐乐现在手里有 1*2,2*1两种地砖。 小乐乐想知道自己有多少种组合方案。

输入描述:

第一行输入整数 n,m。(1<=n,m<=10)

输出描述:

输出组合方案数。

示例

输入

2 3

输出

3

ac代码

 1
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#include <iostream>
#include <string.h>
using namespace std;

int n,m;
int dp[2][(1<<11)],cur,mask;  //mask 掩码

void update(int a,int b){
    dp[cur][b] += dp[cur^1][a];  //更新状态方案数
}

int main(){
    cin>>n>>m;
    mask = (1<<m)-1; //设置掩码
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    cur = 0; //滚动数组
    dp[cur][(1<<m)-1] = 1; //初始化
    for(int i = 0;i < n;i++){
        for(int j = 0;j < m;j++){//当前处理位置(i,j)
            cur ^= 1; 
            memset(dp[cur],0,sizeof(dp[cur]));
            for(int k = 0;k < (1<<m);k++){//枚举当前状态

                //当前和上都放  上有空位就不能往左,也不能不放
                if(i && !(k&(1<<(m-1))))//不是第一行,且正上方为空
                {
                    update(k,((k<<1)^1)&mask);//新状态尾部置1
                }else
                {
                    //当前和左放
                    if(j && (!(k&1)))//不是第一列并且左边为空 
                        update(k,((k<<1)^3)&mask);//新状态尾两个11

                    //不放
                    update(k,(k<<1)&mask);
                                        //掩码是只取低m位作为状态
                }

            }
        }
    }
    cout<<dp[cur][(1<<m)-1]<<endl;
    return 0;
}

思路:

轮廓线dp,状压 在这道题中,假设我们有一个 5*5 的格子要填充(如图),黑色部分不是格子的一部分,只是作为虚拟出来的"顶”。 图1中蓝色部分表示已经填充好的部分;黄色部分是状态压缩表示的状态,已经填充为1,没有为0;红色表示当前处理的位置。 图2中我们用状态01111表示当前的"轮廓”。这个状态的"头"总是在"当前"的上面,这个状态的"尾"大部分时候在"当前"的左边(图4的情况不是)。 图3中,我们"当前"的处理方式只能是填充"当前"和"头”(竖着放),因为如果我们不这样,上方的空位就无法被填充,会被忽略过去。

/算法/lkxdp.png

图4中,“当前"的左边没有格子,而且上方是0,不可能往左放,只能往上放(竖着放)。处理过之后就变成下面的新状态了。 图5种,有两种选择,往左放或者不放。 特别的,如何初始化? 处理第一行的时候,假设上面还有一层,并且都填充了(就是图中黑色部分),这样就可以像其他位置一样处理。 怎么记录方案数? 每一个状态都是由另一个状态得到的,状态1 —>状态2 ; 状态3 —> 状态2; 可能很多状态都能到状态2,那么状态2的方案数就是 状态1方案数 + 状态2方案数 + … 设dp[cur][state]表示cur(当前)位置为state状态的方案数。last为上一个位置。 设 k 表示处理当前位置前的状态(轮廓),new为处理当前位置后的状态(轮廓) 转移方程有

1
dp[cur][new] += dp[last][k];

我先去上课 。。。。 具体实现可以看代码。 需要注意的几点: 初始化是当上面有一行不存在的,已经填充好的一行 dp[cur][(1<<m)-1] = 1 cur ^= 1 是滚动数组的操作,因为当前位置状态只和它之前位置状态有关 任何时候,上方有空位就不能选择左或者不填。